#4365. [IOI2014]gondola缆车

猫空缆车（Mao-Kong Gondola）是台北市的一个著名景点。这个缆车系统包括一个环形轨道、一个缆车站和n个编号为1到n的缆车。这些缆车以固定的方向在轨道上循环运行。在缆车 经过缆车站之后，下一个经过缆车站的缆车将会是i+1（i<n时），或者是缆车1（i=n时）。
缆车可能会发生故障。幸运的是，我们有无限多个后备的空闲缆车，其编号依次为n+1,n+2等等。当某个缆车发生故障时，我们会在轨道上的同一位置用最前一个空闲缆车替换它，也就是说，编号最小的空闲缆车。举个例子，如果当前有五辆缆车而缆车1发生了故障，那么我们将用缆车6来替换它。
你喜欢去缆车站上观察缆车过站。一个缆车序列（ gondola sequence ） 是由缆车过站次序形成的n个缆车编号的序列。在你到达缆车站之前，有可能会有一到多个缆车发生故障（并且被替换掉），但是在你观察过程中是不会有缆车发生故障的。
注意，在轨道上的相同一组缆车，有可能给出多种缆车序列，这取决于当你到缆车站时哪辆缆车最先过站。举个例子，如果没有任何缆车发生故障，那么(2, 3, 4, 5, 1)和(4, 5, 1, 2, 3)都可能是缆车序列，但是(4, 3, 2, 5, 1)不可能是（因为缆车的次序有误）。
如果缆车1发生故障，那么我们可能会观察到缆车序列(4, 5, 6, 2, 3)。如果接着缆车4发生故障而我们用缆车7替换它，就有可能会观察到缆车序列(6, 2, 3, 7, 5)。如果缆车7在此后发生故障而我们用缆车8替换它，那么现在就有可能会观察到缆车序列(3, 8, 5, 6, 2)。
 
一个 替换序列（ replacement sequence ） 是一个由故障缆车编号组成的序列，其次序与故障发生次序相同。在前面的例子中，替换序列是(1, 4, 7)。如果一个替换序列 对应的故障发生后，我们由此有可能观察到缆车序列 ，就称替换序列 生成缆车序列。
缆车序列检查
在前三个子任务中，你必须检查某个输入序列是否是一个缆车序列。下表举例说明了哪些序列是缆车序列而哪些不是。
输出一行一个整数0或1，当输入序列是一个缆车序列时，输出1，否则输出0。
替换序列
在接下来的三个子任务中，你必须构造一个能够生成给定缆车序列的可能的替换序列。满足条件的任意替换序列都可以。
输出一行，第一个整数l表示替换序列的长度，后面l个整数，第i个表示replacementSeq[i]。
replacementSeq: 一个足够大的能存下替换序列的数组；你应当将替换序列中的
第i个元素存放到replacementSeq[i]做为返回结果，这里0≤i≤l-1。
替换序列计数
在接下来的四个子任务中，你必须计算所有能够生成给定序列（有可能是缆车序列，也有可能不是）的可能替换序列的数目，并将其对1,000,000,009取模。
如果输入序列是一个缆车序列，则计算能够生成该缆车序列的可能的替换序列的
数目（有可能会非常大）， 然后输出将该数值对 1,000,000,009 取模的结果。如果输入序列不是一个缆车序列，应输出0。如果输入序列是一个缆车序列，
但是没有缆车发生故障，应输出1。

样例输入

			
1

30

16 26 18 19 20 13 22 21 24 25 17 27 28 29 30 1 2 3 11 5 6 8 7 9 10 12 4 23 14 15

 

 

样例输出

			
0